Как найти площадь треугольника, формула 🔺

Основные понятия

Треугольник — это геометрическая фигура, которая получилась из трех отрезков. Их соединили тремя точками, не лежащими на одной прямой. Отрезки принято называть сторонами, а точки — вершинами.

Площадь — это численная характеристика, которая дает нам информацию о размере части плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Популярные единицы измерения площади:

Видео

Формула площади треугольника по одной стороне и двум углам

S=a22sinβsinγsin(β+γ)S=\frac{a^2}{2}\cdot \frac{\sin{\beta}\sin{\gamma}}{\sin(\beta+\gamma)}S=2a2sin(β+γ)sinβsinγ,

aaa — длина стороны треугольника; β,γ\beta, \gammaβ,γ — углы, прилежащие к стороне aaa.

Пример
Дано сторону треугольника, равную  10 (см.) и два

Дано сторону треугольника, равную 10 (см.) и два прилежащих к ней угла по 30 градусов. Найти площадь треугольника.

Решение

a=10a=10a=1 β=3\beta=30^{\circ}β=3 γ=3\gamma=30^{\circ}γ=3

По формуле:

S=122sin3sin3sin(3+3)=5012314.4S=\frac{10^2}{2}\cdot \frac{\sin{30^{\circ}}\sin{30^{\circ}}}{\sin(30^{\circ}+30^{\circ})}=50\cdot\frac{1}{2\sqrt{3}}\approx14.4S=212sin(3+3)sin3sin3=523114.4 (см. кв.)

Ответ: 14.4 (см. кв.)

Если известна сторона и высота

Площадь любого треугольника равна половине произведения стороны на высоту, которая к этой стороне проведена. Именно к этой, а не к какой-то другой.

Чтобы провести высоту к стороне, надо найти вершину (угол), которая противоположна этой стороне, а потом опустить из нее на сторону прямую линию под углом в 90 градусов. На картинке высота обозначена синим цветом и буквой h, а линия, на которую она опускается, красным цветом и буквой a.

Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности

S=prS=p\cdot rS=pr,

ppp — половина периметра треугольника:

p=a+b+c2p=\frac{a+b+c}{2}p=2a+b+c,

a,b,ca, b, ca,b,c — стороны треугольника; rrr — радиус вписанной в треугольник окружности.

Пример
Пусть радиус вписанной окружности равен 2 (см.). Д

Пусть радиус вписанной окружности равен 2 (см.). Длины сторон возьмем из предыдущей задачи.

Решение

a=3a=3a=3 b=4b=4b=4 c=5c=5c=5 r=2r=2r=2

p=3+4+52=6p=\frac{3+4+5}{2}=6p=23+4+5=6

S=62=12S=6\cdot 2=12S=62=12 (см. кв.)

Ответ: 12 (см. кв.)

Если он равнобедренный

То есть у него равны боковые стороны. В таком случае надо провести высоту к основанию (той стороне, которая не равна «бедрам»), перемножить высоту с основанием и поделить результат на два.

Таблица формул нахождения площади треугольника

В задачах встречаются разные фигуры, и кажется, что нужны разные формулы. Но на самом деле, зная всего несколько формул для треугольника и пользуясь теоремами и свойствами геометрии, можно найти площадь любой фигуры.

Скачать таблицу

Скачать таблицу

Теги

Похожие записи: