Полупериметр — Википедия с видео

Формула площади

Площадь треугольника (S) равняется квадратному корню из произведения его полупериметра (p) на разности полупериметра и каждой из его сторон (a, b, c).

S = √p(p-a)(p-b)(p-c)

Полупериметр (p ) вычисляется таким образом:

Полупериметр (p) вычисляется таким образом:

Примечание: для использования формулы необходимо з

Примечание: для использования формулы необходимо знать/найти длину всех сторон треугольника.

Формула получила такое название в честь греческого математика и механика Герона Александрийского, который изучал треугольники с целочисленными сторонами и площадью (героновские). К таким, например, относится прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3:4:5, который также называют египетским.

Формулы площади треугольника

  Формула площади треугольника по стороне и высоте
  1. Формула площади треугольника по стороне и высоте Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты S = 12a · ha S = 12b · hb S = 12c · hc

  2. Формула площади треугольника по трем сторонам где = — полупериметр треугльника.

  3. Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними. S = 12a · b · sin γ S = 12b · c · sin α S = 12a · c · sin β

  4. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности S = a · b · с 4R

  5. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности. S = p  · r

Вы можете воспользоваться онлайн калькулятором для расчета площади треугольника.

Видео

Высоты треугольника

Определение.  Высотой треугольника называется перпОпределение. Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую содержащую противоположную сторону. В зависимости от типа треугольника высота может содержаться
  • внутри треугольника — для остроугольного треугольника;
  • совпадать с его стороной — для катета прямоугольного треугольника;
  • проходить вне треугольника — для острых углов тупоугольного треугольника.
Высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника. Если в треугольнике две высоты равны, то треугольник — равнобедренный.

ha :hb :hc = 1a :1b :1c = (bc ):(ac ):(ab )

1ha + 1hb + 1hc = 1r

Формулы высот треугольника через сторону и угол:

ha = b sin γ = c sin β hb = c sin α = a sin γ hc = a sin β = b sin α

Формулы высот треугольника через сторону и площадь:

ha = 2Sa hb = 2Sb hc = 2Sc

Формулы высот треугольника через две стороны и радиус описанной окружности: ha = bc 2R hb = ac 2R hc = ab 2R

Примеры задач

Задание 1 Найдите площадь треугольника со сторонами 6, 8 и 10 см.

Решение Для начала найдем полупериметр:p = (6 + 8 + 10) / 2 = 12 см.

Теперь воспользуемся формулой Герона, подставив в нее заданные значения:S = √12(12 – 6)(12 – 8)(12 – 10) = 12 ⋅ 6 ⋅ 4 ⋅ 2 = 24 см2.

Задание 2 В прямоугольном треугольнике длина гипотенузы равняется 15 см, а одного из катетов – 9 см. Вычислите площадь фигуры.

Решение Пусть гипотенуза – это c, известный катет – a, а неизвестный – b.

Применим Теорему Пифагора, чтобы найти длину катета b:b2 = c2 – a2 = 152 – 92 = 144 см2, следовательно, b = 12 cм.

Полупериметр треугольника равен:p = (9 + 12 + 15) / 2 = 18 см.

Остается только использовать формулу для нахождения площади:S = √18(18 – 9)(18 – 12)(18 – 15) = 18 ⋅ 9 ⋅ 6 ⋅ 3 = 54 см2.

Теги

Похожие записи: